\subsection{正多边形的有关计算}\label{subsec:czjh2-7-17}

\begin{enhancedline}

我们知道，多边形的内角和等于 $(n - 2) \cdot 180^\circ$。
因为正多边形的各角都相等，所以它的每个内角都等于
$$ \dfrac{(n - 2) \cdot 180}{n}  \juhao $$

下面研究正多边形的其他计算问题。

正 $n$ 边形的 $n$ 条半径把它分成了 $n$ 个等腰三角形，如图 \ref{fig:czjh2-7-68} ，
这些等腰三角形底边上的高，又把它们分成 $2n$ 个直角三角形，
而这些直角三角形的斜边恰好都是正 $n$ 边形的半径，
一条直角边是正 $n$ 边形的边心距，
另一条直角边是正 $n$ 边形边长的一半，
显然这些直角三角形是全等的。 因而得到：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-68}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-68}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-69}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-69}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{dingli}[定理]
    正 $n$ 边形的半径和边心距把正 $n$ 边形分成 $2n$ 个全等的直角三角形。
\end{dingli}

由于正 $n$ 边形的中心角 $\alpha_n = \dfrac{360^\circ}{n}$，我们应用上面定理，
就可以把正 $n$ 边形的边长 $a_n$， 边心距 $r_n$， 周长 $p_n$ 和面积 $S_n$
等的计算问题归结为有关直角三角形的计算问题。



\liti[0] 已知正六边形 $ABCDEF$ 的半径为 $R$，求这个正六边形的边长 $a_6$；
周长 $p_6$ 和面积 $S_6$。

\jie 连结半径 $OA$、$OB$， 作 $\triangle OAB$ 的高 $OG$，得 $Rt \triangle OGB$（图 \ref{fig:czjh2-7-69}）。

$\because$ \quad $\angle GOB = \dfrac{360^\circ}{2n} = 30^\circ$，

$\therefore$ \quad $a_6 = 2 R \sin 30^\circ = 2 \cdot \exdfrac{R}{2} = R$。

$\therefore$ \quad $p_6 = 6 \cdot a_6 = 6 R$。

$\because$ \quad $r_6 = R \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} R$，

$\therefore$ \quad $S_6 = 6 \cdot \exdfrac{1}{2} \cdot r_6 \cdot a_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} R^2$。


\begin{lianxi}

\xiaoti{已知圆的半径为 $R$，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积。}

\xiaoti{在半径为 20 cm 的圆中，利用三角函数表，计算内接正九边形的边长、边心距、周长及面积（保留四个有效数字）。}

\xiaoti{一个正七边形的边长为 12 cm， 利用三角函数表，计算它的面积（保留三个有效数字）。}

\xiaoti{设正三角形的边长为 $a$，求它的边心距、半径和高。并证明：
    $\text{边心距} : \text{半径} : \text{高} = 1 : 2 : 3$。
}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}
